Un carré peut donner l’impression d’être magique sans l’être complètement. C’est souvent le cas lorsqu’une grille possède des lignes et des colonnes régulières, mais que ses diagonales ne vérifient pas la même somme.
Cette distinction est importante, car elle évite de valider trop vite une structure simplement parce que plusieurs sommes semblent correctes.
Carré magique
Un carré magique possède des lignes, des colonnes et deux diagonales principales qui donnent toutes la même somme.
Carré semi-magique
Un carré semi-magique possède généralement des lignes et des colonnes de même somme, mais ses diagonales principales ne vérifient pas nécessairement cette somme.
Comparaison interactive
La visualisation suivante compare un carré magique complet et un carré semi-magique. Les deux grilles utilisent les nombres de 1 à 9, mais elles ne vérifient pas les mêmes propriétés.
Comparaison interactive
Carré magique complet vs carré semi-magique
Les deux grilles utilisent les nombres de 1 à 9 et visent la constante 15. La différence apparaît lorsque l’on inspecte les diagonales.
Structure A
Lo Shu
Structure B
Semi-magique
Le critère qui change tout : les diagonales
Dans un carré magique complet, les diagonales principales sont aussi importantes que les lignes et les colonnes.
Il ne suffit donc pas de vérifier :
lignes correctes
colonnes correctesIl faut aussi vérifier :
diagonale principale descendante correcte
diagonale principale montante correcteC’est souvent là que la différence apparaît.
Exemple d’un vrai carré magique : Lo Shu
Le carré Lo Shu est un carré magique d’ordre 3.
Sa constante magique est 15.
Vérification
Carré vérifiéLignes
- Ligne 1 : 15
- Ligne 2 : 15
- Ligne 3 : 15
Colonnes
- Colonne 1 : 15
- Colonne 2 : 15
- Colonne 3 : 15
Diagonales
- Diagonale 1 : 15
- Diagonale 2 : 15
Les lignes donnent :
2 + 7 + 6 = 15
9 + 5 + 1 = 15
4 + 3 + 8 = 15Les colonnes donnent :
2 + 9 + 4 = 15
7 + 5 + 3 = 15
6 + 1 + 8 = 15Les diagonales donnent aussi :
2 + 5 + 8 = 15
6 + 5 + 4 = 15Pourquoi Lo Shu est magique
Le carré Lo Shu vérifie les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales. Il s’agit donc d’un carré magique complet.
Exemple d’un carré semi-magique
Voici maintenant un carré semi-magique d’ordre 3.
Il utilise les nombres de 1 à 9 et ses lignes et colonnes donnent 15.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 15
- Ligne 2 : 15
- Ligne 3 : 15
Colonnes
- Colonne 1 : 15
- Colonne 2 : 15
- Colonne 3 : 15
Diagonales
- Diagonale 1 : 12
- Diagonale 2 : 24
Les lignes donnent :
1 + 5 + 9 = 15
6 + 7 + 2 = 15
8 + 3 + 4 = 15Les colonnes donnent :
1 + 6 + 8 = 15
5 + 7 + 3 = 15
9 + 2 + 4 = 15Mais les diagonales ne donnent pas 15 :
1 + 7 + 4 = 12
9 + 7 + 8 = 24La grille possède donc une régularité réelle, mais elle ne vérifie pas la propriété complète de carré magique.
Le piège classique
Une grille peut sembler très régulière parce que ses lignes et colonnes fonctionnent. Mais si les diagonales échouent, elle n’est pas un carré magique complet.
Vérification interactive
Inspection interactive du carré semi-magique
Cliquez sur une ligne, une colonne ou une diagonale pour afficher la somme correspondante et vérifier si elle atteint la constante magique.
Lignes
Colonnes
Diagonales
Comparaison rapide
Carré magique complet
- lignes correctes
- colonnes correctes
- diagonales correctes
Carré semi-magique
- lignes correctes
- colonnes correctes
- diagonales pas forcément correctesCette distinction est simple, mais elle change complètement le statut mathématique de la structure.
Pourquoi garder les carrés semi-magiques dans une base ?
Un carré semi-magique n’est pas un échec sans intérêt. C’est au contraire un très bon objet pédagogique.
Il permet de comprendre :
- pourquoi les diagonales comptent ;
- comment une vérification peut être partielle ;
- pourquoi il faut distinguer plusieurs statuts ;
- comment une structure peut être proche d’un carré magique sans l’être complètement.
Dans Mystimath, ce type d’exemple aide à rendre les critères de validation plus explicites.
Statut, vérification et prudence
Une structure peut être :
verified
under-review
partial
draftLe statut dépend de ce qui a été vérifié, de la manière dont cela a été vérifié et des propriétés revendiquées.
Un carré semi-magique peut donc être vérifié comme carré semi-magique, mais il ne doit pas être présenté comme carré magique complet.
Formulation correcte
Le carré semi-magique d’ordre 3 est vérifié pour ses lignes et colonnes. Il n’est pas vérifié comme carré magique complet, car ses diagonales ne donnent pas la constante attendue.
Pour aller plus loin
Quelques pages utiles :