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Carrés magiques

Les carrés magiques simplement pairs : pourquoi sont-ils plus délicats ?

Comprendre les carrés magiques simplement pairs, comme l’ordre 6, et pourquoi leur construction est plus délicate que celle des ordres impairs ou doublement pairs.

Par Mystimath Publié le 03/06/2026 Mis à jour le 03/06/2026 Niveau : Avancé

Les carrés magiques simplement pairs occupent une place un peu particulière dans l’étude des carrés magiques.

Ils sont pairs, mais ils ne se comportent pas comme les carrés doublement pairs. Ils ne sont pas impairs non plus, donc la méthode siamoise ne leur convient pas directement.

L’ordre 6 est le premier exemple important de cette famille. Il permet de comprendre pourquoi certains carrés magiques sont plus délicats à construire que d’autres.

Carré magique simplement pair

Un carré magique simplement pair est un carré magique dont l’ordre est divisible par 2, mais pas par 4.
Les ordres 6, 10, 14, 18, etc., appartiennent à cette famille.

Trois familles à distinguer

Pour les carrés magiques normaux, il est utile de distinguer trois cas :

Ordres impairs
3, 5, 7, 9, ...

Ordres doublement pairs
4, 8, 12, 16, ...

Ordres simplement pairs
6, 10, 14, 18, ...

Cette distinction n’est pas seulement un classement abstrait. Elle change directement la méthode de construction.

Une différence de méthode

Les carrés d’ordre impair peuvent être construits par méthode siamoise.
Les carrés doublement pairs peuvent utiliser une logique de complément.
Les carrés simplement pairs demandent généralement une organisation en blocs et des échanges de zones.

Pourquoi l’ordre 6 est le premier cas difficile ?

L’ordre 6 est pair, car il est divisible par 2 :

6 = 2 × 3

Mais il n’est pas divisible par 4. Il n’est donc pas doublement pair.

Cela signifie qu’il ne relève pas directement de la méthode doublement paire utilisée pour les ordres 4, 8, 12 ou 16.

Ordre simplement pair

Un ordre simplement pair est un ordre de la forme 4k + 2.
Exemples : 6, 10, 14, 18.

La constante magique de l’ordre 6

Un carré magique normal d’ordre 6 contient les nombres de 1 à 36.

Sa constante magique est donnée par :

Constante magique d’un carré normal

M = n(n² + 1) / 2

Pour n = 6 :

Constante magique pour n = 6

M = 6(6² + 1) / 2 = 6(37) / 2 = 111

Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales doivent donc donner 111.

Exemple d’un carré magique d’ordre 6

Voici un exemple de carré magique normal d’ordre 6 simplement pair :

Carré magique d’ordre 6 simplement pair Ce carré magique d’ordre 6 possède une constante magique égale à 111.
35
1
6
26
19
24
3
32
7
21
23
25
31
9
2
22
27
20
8
28
33
17
10
15
30
5
34
12
14
16
4
36
29
13
18
11

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 111
  • Ligne 2 : 111
  • Ligne 3 : 111
  • Ligne 4 : 111
  • Ligne 5 : 111
  • Ligne 6 : 111

Colonnes

  • Colonne 1 : 111
  • Colonne 2 : 111
  • Colonne 3 : 111
  • Colonne 4 : 111
  • Colonne 5 : 111
  • Colonne 6 : 111

Diagonales

  • Diagonale 1 : 111
  • Diagonale 2 : 111

Ce carré contient les nombres de 1 à 36, sans répétition, et respecte la constante magique 111.

Vérification de quelques lignes

Les lignes donnent :

35 +  1 +  6 + 26 + 19 + 24 = 111
 3 + 32 +  7 + 21 + 23 + 25 = 111
31 +  9 +  2 + 22 + 27 + 20 = 111
 8 + 28 + 33 + 17 + 10 + 15 = 111
30 +  5 + 34 + 12 + 14 + 16 = 111
 4 + 36 + 29 + 13 + 18 + 11 = 111

Les colonnes et les deux diagonales principales donnent également 111.

Vérification

La vérification des lignes, des colonnes et des diagonales confirme que cette grille est bien un carré magique normal d’ordre 6.

Extension à l’ordre 10

L’ordre 10 prolonge naturellement l’ordre 6 dans la famille des carrés simplement pairs.

Il est divisible par 2, mais pas par 4 :

10 = 2 × 5

Un carré magique normal d’ordre 10 contient les nombres de 1 à 100. Sa constante magique vaut 505.

Carré magique d’ordre 10 simplement pair Ce carré magique d’ordre 10 illustre la généralisation des méthodes simplement paires.
92
99
1
8
15
67
74
51
58
40
98
80
7
14
16
73
55
57
64
41
4
81
88
20
22
54
56
63
70
47
85
87
19
21
3
60
62
69
71
28
86
93
25
2
9
61
68
75
52
34
17
24
76
83
90
42
49
26
33
65
23
5
82
89
91
48
30
32
39
66
79
6
13
95
97
29
31
38
45
72
10
12
94
96
78
35
37
44
46
53
11
18
100
77
84
36
43
50
27
59

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 505
  • Ligne 2 : 505
  • Ligne 3 : 505
  • Ligne 4 : 505
  • Ligne 5 : 505
  • Ligne 6 : 505
  • Ligne 7 : 505
  • Ligne 8 : 505
  • Ligne 9 : 505
  • Ligne 10 : 505

Colonnes

  • Colonne 1 : 505
  • Colonne 2 : 505
  • Colonne 3 : 505
  • Colonne 4 : 505
  • Colonne 5 : 505
  • Colonne 6 : 505
  • Colonne 7 : 505
  • Colonne 8 : 505
  • Colonne 9 : 505
  • Colonne 10 : 505

Diagonales

  • Diagonale 1 : 505
  • Diagonale 2 : 505

La grille est plus grande que celle de l’ordre 6, mais la logique reste comparable : elle repose sur une organisation en blocs et des échanges contrôlés.

Voir la fiche du carré d’ordre 10 simplement pair

Extension à l’ordre 14

L’ordre 14 prolonge encore la famille des carrés simplement pairs.

Il est divisible par 2, mais pas par 4 :

14 = 2 × 7

Un carré magique normal d’ordre 14 contient les nombres de 1 à 196. Sa constante magique vaut 1379.

Carré magique d’ordre 14 simplement pair Ce carré magique d’ordre 14 prolonge la progression des carrés simplement pairs.
177
186
195
1
10
19
28
128
137
146
99
108
68
77
185
194
154
9
18
27
29
136
145
105
107
116
76
78
193
153
155
17
26
35
37
144
104
106
115
124
84
86
5
161
163
172
34
36
45
103
112
114
123
132
85
94
160
162
171
33
42
44
4
111
113
122
131
140
93
53
168
170
179
41
43
3
12
119
121
130
139
141
52
61
169
178
187
49
2
11
20
120
129
138
147
100
60
69
30
39
48
148
157
166
175
79
88
97
50
59
117
126
38
47
7
156
165
174
176
87
96
56
58
67
125
127
46
6
8
164
173
182
184
95
55
57
66
75
133
135
152
14
16
25
181
183
192
54
63
65
74
83
134
143
13
15
24
180
189
191
151
62
64
73
82
91
142
102
21
23
32
188
190
150
159
70
72
81
90
92
101
110
22
31
40
196
149
158
167
71
80
89
98
51
109
118

Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.

Vérification

À vérifier

Lignes

  • Ligne 1 : 1379
  • Ligne 2 : 1379
  • Ligne 3 : 1379
  • Ligne 4 : 1379
  • Ligne 5 : 1379
  • Ligne 6 : 1379
  • Ligne 7 : 1379
  • Ligne 8 : 1379
  • Ligne 9 : 1379
  • Ligne 10 : 1379
  • Ligne 11 : 1379
  • Ligne 12 : 1379
  • Ligne 13 : 1379
  • Ligne 14 : 1379

Colonnes

  • Colonne 1 : 1379
  • Colonne 2 : 1379
  • Colonne 3 : 1379
  • Colonne 4 : 1379
  • Colonne 5 : 1379
  • Colonne 6 : 1379
  • Colonne 7 : 1379
  • Colonne 8 : 1379
  • Colonne 9 : 1379
  • Colonne 10 : 1379
  • Colonne 11 : 1379
  • Colonne 12 : 1379
  • Colonne 13 : 1379
  • Colonne 14 : 1379

Diagonales

  • Diagonale 1 : 1379
  • Diagonale 2 : 1379

À cet ordre, la lecture directe devient dense. La page de progression par ordre devient alors utile pour situer la structure dans la série : ordre 6, ordre 10, ordre 14.

Voir la fiche du carré d’ordre 14 simplement pair

Pourquoi ne pas utiliser la méthode siamoise ?

La méthode siamoise fonctionne naturellement pour les ordres impairs.

Elle repose sur un déplacement régulier : monter d’une ligne, aller d’une colonne vers la droite, puis reboucler si nécessaire.

Avec un ordre pair simplement pair, cette logique ne répartit pas les nombres correctement dans la grille. Elle ne produit pas directement une structure magique normale.

Pour voir la différence, on peut comparer avec un carré d’ordre 5 :

Carré magique d’ordre 5 par méthode siamoise Ce carré d’ordre 5 illustre le fonctionnement naturel de la méthode siamoise pour les ordres impairs.
17
24
1
8
15
23
5
7
14
16
4
6
13
20
22
10
12
19
21
3
11
18
25
2
9

L’ordre 5 accepte une construction cyclique simple. L’ordre 6 demande une organisation plus complexe.

Pourquoi ne pas utiliser directement la méthode doublement paire ?

La méthode doublement paire repose sur une logique de motif et de complément.

Elle fonctionne pour les ordres divisibles par 4, comme 4 ou 8.

Exemple avec l’ordre 4 :

Carré magique d’ordre 4 doublement pair Ce carré d’ordre 4 illustre la méthode doublement paire par complément.
16
2
3
13
5
11
10
8
9
7
6
12
4
14
15
1

Mais l’ordre 6 n’est pas divisible par 4. Le motif simple des carrés doublement pairs ne s’applique donc pas directement.

La logique des blocs

Les méthodes simplement paires utilisent souvent une idée plus composée.

On peut schématiquement les comprendre ainsi :

1. construire plusieurs sous-carrés ;
2. organiser ces blocs dans une grille plus grande ;
3. échanger certaines colonnes ou certaines zones ;
4. vérifier les lignes, les colonnes et les diagonales.

L’idée centrale est que l’on ne remplit pas seulement une grille case par case. On travaille aussi avec des régions.

Une construction par zones

Dans les carrés simplement pairs, la difficulté vient souvent des échanges entre blocs. Ce n’est pas seulement le placement local des nombres qui compte, mais l’équilibre global de la grille.

Pourquoi cette famille est importante ?

Les carrés simplement pairs sont importants parce qu’ils montrent les limites des méthodes les plus simples.

Ils forcent à comprendre que les carrés magiques ne relèvent pas d’une seule recette universelle. Selon l’ordre du carré, la méthode change.

Ils sont aussi utiles pour introduire des idées plus avancées :

- découpage en sous-carrés ;
- permutation de zones ;
- équilibre entre lignes et colonnes ;
- vérification algorithmique ;
- généralisation vers des ordres plus grands.

Comparaison rapide

Ordre 5
- impair
- méthode siamoise
- constante 65
- construction cyclique

Ordre 4
- doublement pair
- méthode par complément
- constante 34
- motif de cases

Ordre 6
- simplement pair
- méthode par blocs et échanges
- constante 111
- construction plus délicate

Dans Mystimath

Dans Mystimath, l’ordre 6 sert de première entrée vers les carrés simplement pairs.

Il complète les structures déjà documentées :

Lo Shu → ordre 3, exemple historique
Ordre 5 → méthode siamoise
Ordre 7 → méthode siamoise
Ordre 4 → méthode doublement paire
Ordre 8 → méthode doublement paire
Ordre 6 → premier exemple simplement pair
Ordre 10 → généralisation simplement paire

Cette progression permet de construire une base claire avant d’aborder des familles plus avancées : carrés bimagiques, trimagiques, multimagiques ou pandiagonaux.

Pour aller plus loin

Pages utiles :