Un carré magique d’ordre impair est souvent une excellente porte d’entrée vers les méthodes de construction. Il n’est plus aussi minimal que le carré Lo Shu d’ordre 3, mais il reste assez lisible pour que les déplacements, les erreurs et les vérifications puissent être suivis visuellement.
La méthode dite siamoise, également connue sous le nom de méthode de De la Loubère, donne une règle simple pour remplir un carré de taille impaire avec les nombres de 1 à n². Elle fonctionne notamment pour les ordres 3, 5, 7, 9, etc.
Carré magique impair
Un carré magique impair est un carré magique dont l’ordre est un nombre impair : 3, 5, 7, 9, etc.
Un carré d’ordre 5 contient donc 25 cases et, dans le cas normal, les nombres de 1 à 25.
La constante magique d’un carré normal
Pour un carré magique normal d’ordre n, utilisant les nombres de 1 à n², la constante magique est donnée par :
Constante magique d’un carré normal
M = n(n² + 1) / 2
Dans le cas d’un carré d’ordre 5 :
Constante magique pour n = 5
M = 5(5² + 1) / 2 = 5(26) / 2 = 65
Chaque ligne, chaque colonne et chacune des deux diagonales principales doivent donc donner 65.
Principe de la méthode siamoise
La méthode repose sur une règle de déplacement très simple :
- placer le nombre 1 au milieu de la première ligne ;
- monter d’une ligne et aller d’une colonne vers la droite ;
- si le déplacement sort du carré, revenir de l’autre côté ;
- si la case visée est déjà occupée, descendre d’une case depuis la position précédente ;
- répéter jusqu’à placer tous les nombres.
Une règle simple, mais cyclique
La difficulté n’est pas dans le calcul, mais dans la logique de rebouclage. Quand on sort par le haut, on revient en bas. Quand on sort par la droite, on revient à gauche.
Construction dynamique
La visualisation suivante construit le carré d’ordre 5 étape par étape. Elle permet de suivre le déplacement haut-droite, les rebouclages et les descentes lorsqu’une case est déjà occupée.
Visualisation interactive
Construction dynamique par méthode siamoise
Les nombres sont placés un par un. Le déplacement normal se fait vers le haut et la droite. Si la case est déjà occupée, on descend depuis la position précédente.
Exemple : le carré magique d’ordre 5
La méthode donne par exemple le carré suivant :
Ce carré contient les nombres de 1 à 25, sans répétition. Sa constante magique est 65.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 65
- Ligne 2 : 65
- Ligne 3 : 65
- Ligne 4 : 65
- Ligne 5 : 65
Colonnes
- Colonne 1 : 65
- Colonne 2 : 65
- Colonne 3 : 65
- Colonne 4 : 65
- Colonne 5 : 65
Diagonales
- Diagonale 1 : 65
- Diagonale 2 : 65
Vérification des lignes
Les lignes donnent bien :
17 + 24 + 1 + 8 + 15 = 65
23 + 5 + 7 + 14 + 16 = 65
4 + 6 + 13 + 20 + 22 = 65
10 + 12 + 19 + 21 + 3 = 65
11 + 18 + 25 + 2 + 9 = 65Vérification des colonnes
Les colonnes donnent aussi :
17 + 23 + 4 + 10 + 11 = 65
24 + 5 + 6 + 12 + 18 = 65
1 + 7 + 13 + 19 + 25 = 65
8 + 14 + 20 + 21 + 2 = 65
15 + 16 + 22 + 3 + 9 = 65Vérification des diagonales
Les deux diagonales principales sont également magiques :
17 + 5 + 13 + 21 + 9 = 65
15 + 14 + 13 + 12 + 11 = 65Pourquoi la vérification est importante
Une méthode de construction peut produire un carré qui semble régulier visuellement. Mais seule la vérification des lignes, colonnes et diagonales permet de confirmer que la structure est bien magique.
Pourquoi cet exemple est utile ?
Le carré d’ordre 5 est intéressant parce qu’il se situe entre deux niveaux.
Il reste assez petit pour être lu case par case, mais il est déjà suffisamment grand pour montrer que les carrés magiques ne sont pas seulement des curiosités de taille 3.
Il permet aussi d’introduire plusieurs notions importantes :
- la constante magique ;
- les carrés d’ordre impair ;
- la construction algorithmique ;
- la vérification automatique ;
- la différence entre apparence visuelle et propriété mathématique.
Lien avec la base Mystimath
La fiche complète de cette structure est disponible ici :
Voir le carré magique d’ordre 5 par méthode siamoise
Elle permet d’observer la grille, ses propriétés, son attribution et ses vérifications dans la base des structures.
Le même principe peut être appliqué à un carré d’ordre 7. Dans ce cas, la grille contient les nombres de 1 à 49 et la constante magique vaut 175.
Voir l’exemple d’ordre 7 dans la base Mystimath
Exemple d’ordre 9
La même méthode peut aussi produire un carré magique d’ordre 9.
Dans ce cas, la grille contient les nombres de 1 à 81 et la constante magique vaut 369.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 369
- Ligne 2 : 369
- Ligne 3 : 369
- Ligne 4 : 369
- Ligne 5 : 369
- Ligne 6 : 369
- Ligne 7 : 369
- Ligne 8 : 369
- Ligne 9 : 369
Colonnes
- Colonne 1 : 369
- Colonne 2 : 369
- Colonne 3 : 369
- Colonne 4 : 369
- Colonne 5 : 369
- Colonne 6 : 369
- Colonne 7 : 369
- Colonne 8 : 369
- Colonne 9 : 369
Diagonales
- Diagonale 1 : 369
- Diagonale 2 : 369
Voir l’exemple d’ordre 9 dans la base Mystimath
Extension à l’ordre 11
La méthode siamoise peut également produire un carré magique d’ordre 11.
La grille contient alors les nombres de 1 à 121, et la constante magique vaut 671.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 671
- Ligne 2 : 671
- Ligne 3 : 671
- Ligne 4 : 671
- Ligne 5 : 671
- Ligne 6 : 671
- Ligne 7 : 671
- Ligne 8 : 671
- Ligne 9 : 671
- Ligne 10 : 671
- Ligne 11 : 671
Colonnes
- Colonne 1 : 671
- Colonne 2 : 671
- Colonne 3 : 671
- Colonne 4 : 671
- Colonne 5 : 671
- Colonne 6 : 671
- Colonne 7 : 671
- Colonne 8 : 671
- Colonne 9 : 671
- Colonne 10 : 671
- Colonne 11 : 671
Diagonales
- Diagonale 1 : 671
- Diagonale 2 : 671
La grille devient plus dense, mais la logique reste la même : déplacement haut-droite, rebouclage et descente lorsqu’une case est déjà occupée.
Voir l’exemple d’ordre 11 dans la base Mystimath
Extension à l’ordre 13
La méthode siamoise peut encore être prolongée à l’ordre 13.
La grille contient alors les nombres de 1 à 169, et la constante magique vaut 1105.
Grille compacte : faire défiler horizontalement si nécessaire.
Vérification
À vérifierLignes
- Ligne 1 : 1105
- Ligne 2 : 1105
- Ligne 3 : 1105
- Ligne 4 : 1105
- Ligne 5 : 1105
- Ligne 6 : 1105
- Ligne 7 : 1105
- Ligne 8 : 1105
- Ligne 9 : 1105
- Ligne 10 : 1105
- Ligne 11 : 1105
- Ligne 12 : 1105
- Ligne 13 : 1105
Colonnes
- Colonne 1 : 1105
- Colonne 2 : 1105
- Colonne 3 : 1105
- Colonne 4 : 1105
- Colonne 5 : 1105
- Colonne 6 : 1105
- Colonne 7 : 1105
- Colonne 8 : 1105
- Colonne 9 : 1105
- Colonne 10 : 1105
- Colonne 11 : 1105
- Colonne 12 : 1105
- Colonne 13 : 1105
Diagonales
- Diagonale 1 : 1105
- Diagonale 2 : 1105
À partir de cet ordre, la visualisation devient presque plus importante que la lecture directe de la grille. La méthode reste simple, mais le carré devient dense.
Voir l’exemple d’ordre 13 dans la base Mystimath
Pour aller plus loin
La méthode siamoise fonctionne pour tous les ordres impairs. Pour un carré d’ordre 7, il faudrait placer les nombres de 1 à 49. Pour un carré d’ordre 9, les nombres de 1 à 81.
Mais plus l’ordre augmente, plus la visualisation devient utile. C’est précisément l’un des objectifs de Mystimath : rendre visibles des structures numériques qui deviennent difficiles à lire directement.